El último acertijo de Fermat.

 ​El 24 de mayo de 2016 en Oslo, el cantábrigo Sir Andrew Wiles recibió de las manos del Príncipe Haakon de Noruega el Premio Abel, por su hábil demostración del teorema que se mantuvo inexpugnable durante más de tres siglos: varias generaciones de matemáticos habían sido necesarias para derribar aquel torreón. Lo inaccesible hoy es esa prueba. 

​La vida en el siglo XVII no era fácil en Francia. Analfabetos, ahogados por los impuestos y despojados, los siervos conservaban un único bien: el consuelo de su fe. Pero sólo aquella fe permitida por el Cardenal. El destino de los nacidos bajo otros cobijos era bien distinto. 

​En el verano del primer año del primer siglo del Racionalismo, con el sol recorriendo la constelación del león, nacía Pierre de Fermat. Su padre, patriarca de una de las familias más acaudaladas de Beaumont-de-Lomagne y exitoso comerciante de pieles, lo envía a la pujante Toulouse para que se forme en leyes. Jurista de la ciudad, funcionario del Parlamento y, finalmente, Juez Supremo de Tolosa, no publicó libro alguno sobre números, su pasión como buen abogado.

​En el siglo de Descartes, la teoría de los números no se dictaba en las universidades y los matemáticos de entonces se veían obligados a trabajar. Fermat, el juez, el príncipe de los matemáticos aficionados, era el alma mater de una red epistolar, con centro de distribución en el jesuita Marin Mersenne (jesuita como Francisco I, el Papa, no el Médici Gran Duque de la Toscana). Fermat, Pascal, Wallis, el mismísimo Descartes, intercambiaban acertijos artiméticos en los que se desafiaban entre sí. El escribiente más prolífico disfrutaba agobiando al resto con problemas que él ya había resuelto, aunque solía omitir sus demostraciones.

​Diofanto de Alejandría, hacia mediados del siglo III de nuestra era (en la Alejandría de aquel entonces los matemáticos estaban bien subsidiados), publicaba su "Aritmética" en 13 volúmenes: una colección de problemas numéricos y geométricos. Conocemos sólo seis; aparentemente a la comunidad científica le quitaron los subsidios y la prendieron fuego, en ese orden. Nunca un término medio por esa zona. En 1621 Claude Bachet los tradujo al latín, y Pierre se hizo de una copia que desfiguró, era de esos de los que anotan los márgenes de los libros con la mayor impunidad. Gracias a ello, y a su hijo Clément Samuel que reeditó la "Aritmética" en 1670, un lustro después de la muerte de su padre, e incluyó 48 de las anotaciones al margen, es que conocemos su "Último Teorema", pasión de multitudes.

​Imaginemos un patio cuadrangular cubierto por 25 baldosas. Las baldosas son todas iguales, cuadradas como el patio, y están enteras: no sobra ni falta ningún pedazo. A ese patio es posible dividirlo en otros dos patiecitos también cuadrados, uno con 9 baldosas y otro con 16 baldosas, sin que sobre ni falte ningún pedazo. 

​Si tienen más lugar, imaginen un patio cuadrado bastante más grande cubierto por 169 baldosas, que también puede dividirse en otros dos, siempre cuadrados, uno con 144 baldosas y otro mini con 25. Nunca sobran ni faltan pedazos. (Con más lugar todavía podrían empezar por un patio aún más grande: con 625 baldosas).

​Estos tripletes de la arquitectura reciben el nombre de "ternas pitagóricas" y se conocen desde bastante antes del nacimiento del griego de Samos, como un milenio antes: en la "Tablilla de Plimpton", impresa en Babilonia por el 1500 a.C., hay unas cuantas. No están todas las ternas porque son infinitas y en una tablilla no entraban. 

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​La relación es posible expresarla en general como:

x^2+y^2 = z^2

donde "z" es la medida de uno de los lados del patio grande, y "x" e "y" las medidas respectivas de uno de los lados de cada patio chiquito.

​Aplicada al primer caso imaginado, la ecuación quedaría:

(3)^2+(4)^2 = (5)^2

                           9+16 = 25 (en baldosas)

Claro que éste no es el último teorema de Fermat, es el teorema de Pitágoras, y se dieron cuenta inmediatamente.

​Ahora, imaginemos ya no un patio sino una habitación. La habitación es cúbica (tiene la misma longitud de largo, de ancho y de alto), sin ventanas, con una puerta. Podría ser un sótano. En este sótano grande caben justo 216 cubitos, todos iguales sin que sobre ni falte ninguno. De capricho nomás, vamos a dividir el sótano grande en otros tres sótanos cúbicos pero más chicos: en el primero acomodamos justo 125 cubitos; en el segundo, 64 cubitos; y en el tercer sótano, los 27 cubitos que nos quedan. No sobra ni falta nada de ningún lado.

​En cantidad de cubitos quedaría: 27+64+125 = 216

Y usando las longitudes como hicimos arriba da: (3)^3+(4)^3+(5)^3 = (6)^3

Por supuesto, esto tampoco es el teorema de Fermat, es una mera suma de potencias cúbicas. Y es posible encontrar más, como con las ternas pitagóricas, infinitamente.  

​Lo que hizo Fermat fue preguntarse si era posible descomponer una potencia cúbica en la suma de sólo dos potencias cúbicas, en lugar de tres. Y ya que estaba, se preguntó también si era posible descomponer una potencia cuarta en la suma de sólo dos potencias cuartas. ¿Y una potencia quinta? ¿O sexta...?

​Y se contestó que no, que no era posible, y que había divisado una demostración maravillosa, pero no había lugar en el exiguo margen de esa edición de la Aritmética sobre la que garabateaba. Y las Moleskine no habían sido inventadas.

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​Hoy diríamos: x^n + y^n = z^n  no tiene solución para números enteros positivos, con n ≥ 3. 

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​ÉSTE es el último teorema de Fermat (en ser demostrado).

​Que comiencen los juegos. Y los juegos comenzaron. Desde el mismo siglo XVII se intentó conquistarlo sin éxito. 

​En el mejor de los casos, se hallaron demostraciones parciales para situaciones particulares: Femat propuso un astuto método de inducción para probar su teorema con potencias cuartas (n=4). ¿No ostentaba ya una maravillosa prueba general? En el más común de los casos, esas demotraciones tenían errores, muchas veces subsanados por los mismos autores, otras tantas por sus herederos: el prolífico suizo Euler, un siglo después de Fermat, ganó la medalla post mortem por probarlo para potencias cúbicas (n=3). Incluso hubo casos de delirio por agotamiento, en que los involucrados llegaron a declarar que habían dado en el busilis, como el pobre Gabriel Lamé hacia 1840, que finalmente sólo había trabajado el caso de potencias séptimas (n=7) y tropezado un par de veces durante el camino (aunque, para ser justos, A.L. Cauchy, en el mismo momento y con el mismo exponente sufrió del mismo mal). ¡Qué valor!

​Lo cierto es que lo errores fueron frecuentes, ni el último de los caballeros estuvo a salvo, así como los saltos hacia adelante en el desarrollo teórico de la ciencia durante estos embates. 

​En la segunda mitad del siglo XIX, Ernst Kummer demuestra el teorema para casi todas las potencias de números primos menores que 100 (una prueba válida para éstos es válida también para sus múltiplos). De conseguir la centena lo frenaron tres primos irregulares, 37, 59 y 67 (y el 74, que no es primo pero sí múltiplo de 37), a los que no pudo someter, una lástima. Para ganar su batalla Kummer introduce un nuevo tipo de objetos mátemáticos, los números ideales, inaugurando así la Teoría de los Números Algebraicos y de la Geometría Algebraica, el marco teórico en que el teorema fue finalmente vencido un siglo más tarde. 

​El 24 de octubre de 1994, casi 20 años antes de recibir el diploma escandinavo, Wiles presenta dos trabajos, nada más que unas 130 páginas, con su demostración general. Sin embargo, la última cruzada había empezado décadas antes, recién terminada la Segunda Guerra, en casa de uno de los del bando perdedor.

​Los mejores amigos Yutaka Taniyama y Goro Shimura formaban una linda dupla. Taniyama era el creativo desprolijo, de esos que se equivocan pero lo hacen bien, mientras que Shimura se ajustaba mejor a la idea que se ha vendido del Japón al mundo occidental: son metódicos, pulcros, disciplinados, toman sake y comen sushi. Taniyama rompía los moldes, Shimura ordenaba los pedazos. Se habían conocido en la facultad, durante la década del 50, entre los escombros intelectuales y de mampostería que les había dejado la guerra, cuando el aire que se respiraba en las clases era una mezcla de abulia y resignación. El joie de vivre corría entonces por cuenta exclusiva de los alumnos. Y el viento los amontonó.

​Durante un simposio internacional en 1955, cuando le tocó hablar, Taniyama miró al auditorio y declamó: "Toda curva elíptica racional es modular". La audiencia, como liebre encandilada. Y esa, su personal manera de conmemorar el décimo aniversario de Hiroshima: con un BOOM.

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​Detengámonos acá por un segundo. 

​La "curvas elípticas" son ni más ni menos que ecuaciones de grado tres cuya solución tiene forma de rosquilla, de esas que engulle Homero. Parecen simples, son inmensamente complejas pero, al menos, resultan fáciles de imaginar: son dónuts. 

​Las funciones o formas modulares son... Bueno, también son funciones, funciones complejas (porque atañen 'números complejos', el objeto matemático) y son funciones complejas (porque no las entendemos). 

​Son funciones con propiedades especiales de periodicidad. Son funciones con tantas simetrías internas que parecen una broma. Son funciones que satisfacen muy específicas condiciones de crecimiento... No hay matemático que se atreva a definirlas en una oración, o pueda hacerlo, en especial del puñado que las maneja. 

​El punto es que están allí, deberemos aceptarlas sin discriminar, y creerles a estos señores cuando nos dicen que resulta hermosamente útil su estudio, en sí mismas y en la aplicación en otras áreas de la matemática como la teoría de números, donde transcurre nuestra historia.

​Y sí que son lindas, algunas parecen versiones tridimensionales de los dibujos que se podían hacer con el viejo espirógrafo. Aunque nos quedaremos con las ganas de conocerlas mejor.

​"Hay cinco operaciones fundamentales de la aritmética -decía Eichler, -: adición, sustracción, multiplicación, división y formas modulares." Un vivo bárbaro este alemán. 

​El dúo nipón ya venía estudiando funciones modulares cuando presentan sus ideas en sociedad. La "Conjetura Taniyama-Shimura", como se conoció a partir de entonces, establecía una relación de espejo o biunívoca entre las curvas elípticas y las formas modulares. El mismo Taniyama sostenía que toda curva elíptica era, en realidad, una forma modular disfrazada de rosquilla. Y así, se tendió un puente entre los dos universos permitiendo profundizar el estudio de ambos. Dos pájaros de un tiro. La conjetura T-S contituyó la base de numerosas teorías que dependían (y aún dependen) exclusivamente de ella. Pero en ese momento era sólo una idea SIN DEMOSTRAR, una conjetura ¡vamos!

​En 1958, Yutaka Taniyama (32) se suicidó sin dejar nota final. Su amigo, Shimura, quedó tan perplejo como ustedes. La presión fue demasiada.

​Como éramos pocos y nos sentíamos solos, cayó un segundo teorema a la bandeja de entrada de pendientes de demostración. Y aunque ninguno de los dos lo sabía aún, ¡Fermat y Taniyama-Shimura eran parientes! 

​Promediaban los 80. Justo antes de que se desintegrara el Challenger, se fundiera el reactor en Chernobil y Maradona les metiera un gol con la mano a los ingleses en pleno mundial, el alemán Gerhard Frey se preguntó qué pasaría si el último teorema de Fermat fuera falso y existiera una solución hipotética para la ecuación que lo enuncia. En su redución al absurdo, Frey obtenía una curva elíptica que parecía no ser modular, contradiciendo la conjetura T-S que había sido tomada por válida durante 30 años. El argumento de verosimilitud que propuso Frey se conoció como "conjetura Épsilon" (lindo nombre) y fue Ken Ribet quien un año más tarde, asesorado por Barry Mazur, terminó por corroborarlo.

​Ahora la disyuntiva era clara: o ambos, teorema y conjetura T-S, eran falsos, o ambos eran verdaderos. Y casi sin darse cuenta, Frey, Ribet y compañía habían dado con el método para demostrar en general el teorema de Fermat despúes de 350 años, lo que no facilitaría el trabajo en lo más mínimo.

(Entra Wiles).

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​Cuando el último cruzado inicia sus estudios de posgrado en Cambridge, plena década del 70, Fermat y su teorema dormían el sueño de los justos. Atrás parecía haber quedado su promesa solemne, siendo niño, de ser el héroe en resolver el acertijo, y se pone a trabajar en curvas elípticas, tema en boga del momento. Las apariencias, empero, engañan.

​Una década más tarde, ya como profesor en la Universidad de Princeton, conoce los resultados de Ribet recién salidos del horno, y entiende de inmediato que sólo era necesario demostrar la conjetura T-S para que caiga junto con ella el teorema del francés: una vez más, dos pajáros de un tiro. Afloran irrefrenables sus juramentos de la niñez y se zambulle sin dudarlo un segundo; serían siete largos años de nado en absoluta soledad y secreto.

​La primera pregunta era "cómo". Y trabajó en el método de abordaje tranquilo, sin competencia ni atención, durante un par de años. Su director de doctorado, John Coates, así como la mayoría de sus colegas de facultad, no creían que fuese posible desentrañar la conjetura con el desarrollo teórico de aquel momento. De vez en cuando, él mismo lo dudaba. Decidió que el camino a seguir era comparar el número de elementos de ambos conjuntos, curvas elípticas y formas modulares; de coincidir, probaría la conjetura. ¿Cómo...? ¿Cómo contar los elementos de un conjunto infinito? ¿Y cómo compararlos con los elementos de otro conjunto infinito? El infinito es incontable (para la mayoría de los mortales). 

​Necesitaba una fórmula contadora de infinitos y empezó a buscarla con las herramientas que había estudiado en sus años de doctorando y conocía bien: la "hipótesis de Iwasawa" sobre curvas elípticas. Qué mejor que un japonés para entender a otro japonés, ¿no? No, Iwasawa lo tenía corriendo en círculos. Para entonces, a finales del verano boreal de 1991, recibió nota de su viejo director Coates, que le sugiería echar un ojo al artículo de un alumno, Matthias Flach, quien había incursionado en una "fórmula de número de clase" particular. ¡Era la fórmula contadora de infinitos que andaba persiguiendo! Despide al japonés inmediatamente y se pone a desarrollar el trabajo de Flach.

​Año y medio más tarde (seis y medio en total, ¡cómo pasa el tiempo!), invitó a su colega y amigo Nick Katz a tomar el té una tarde de invierno. "Estoy a esto de someter a los japoneses -le confesó y, entornando los ojos, mostró en el aire el pulgar y el índice de su mano izquierda casi juntos-, pero necesito tu ayuda". Para evitar levantar sospechas, los dos pergeñaron una serie de seminarios en los que Wiles habría de exponer su desarrollo de la fórmula de número de clase que completaba el trabajo de Flach. Katz asistiría como oyente. En ningún momento se haría alusión a Taniyama, Shimura, conjetura, Fermat, o el hecho de que estaba allanando el camino hacia la verificación general del teorema. La intención fue poner a prueba su trabajo escondiéndose a plena luz del día. Y casi lo consiguieron. 

​Los seminarios no revelaron errores, pero sus colegas tampoco habían menguado las sospechas y la actitud reservada de Wiles no ayudaba a que lo hicieran. Faltaba poco. Pasó todo en limpio, ordenó el escritorio, se despidió de su mujer, y partió a su ciudad natal, Cambridge, para participar en el congreso estival de matemática que había organizado Coates. Su ponencia, "Curvas elípticas y formas modulares". Esos últimos días había un tufillo raro en el ambiente académico, se presentía venir algo grande.

​Y llegó la hora. La tensión en el auditorio iba en aumento a medida que se acercaba la conclusión, crecía a la par de la "o" que se dibujaba en las bocas abiertas de los asistentes y de todos los pares de ojos que parecían querer saltar de sus órbitas. Wiles tomó una tiza, escribió en grandes letras de imprenta el enunciado del último teorema de Fermat, devolvió la tiza a su bandeja, fijó la mirada en el horizonte y dijo tímidamente: "Lo he demostrado. Creo que me detendré acá."

​El histrionismo de estos matemáticos es inesperado.

​Al día siguiente, llovieron literalmente las consultas periodísticas de todo el mundo. Bueno, no "literalmente". 

​El problema no surgió sino hasta más tarde. Durante el verano, Katz revisó minuciosamente el artículo de su par y se trabó con un error fundamental que no habían detectado en los seminarios de secreto a voces: era el método de Flach. Abatido, nuestro caballero regresó a la guarida en busca del calor y protección que necesitaría para remover ese escollo pero ya no era lo mismo, se sentía sobreexpuesto: ahora el mundo lo observaba. Dedicó el otoño a tirar de la manta para tapar un agujero aquí y revelar otro más allá.

​Las estaciones se sucedieron sin misericordia y sin soluciones. Un año más tarde, era lunes por la mañana, se disponía a cerrar ya ese capítulo fallido de su vida cuando Urania, la Celestial, le susurra suavemente al oído. Mientras ordenaba sus papeles vió por primera vez cuál era la pieza que completaba el cuadro: aquello que invalidaba el método de Flach era lo que haría funcionar la aproximación inicial al problema descartada años atrás, la hipótesis de Iwasawa, la verdadera respuesta. Después de todo, un japonés era lo mejor para entender a otro. Fue el momento culmen de su vida profesional.

​Dejó su escritorio, recorrió dos veces la casa en busca de su mujer, la encontró en el primer lugar que había revisado sin ver, estaba en la cocina preparando un té. En un abrazo, ahora susurra él: "Querida Nada, arreglé a Fermat."

​Hacia finales del siglo XX, Breuil, Conrad, Diamond & Taylor, demostraron la conjetura Taniyama-Shimura para todas la curvas elípticas. Wiles sólo había trabajado con un grupo particular, la curvas elípticas semiestables, aquellas que surgían de una hipotética solución al teorema del francés. A partir de entonces, esa idea se conoce como Teorema de Modularidad. 

​Es prácticamente imposible que Fermat tuviera una prueba semejante. Wiles utilizó técnicas desarrolladas durante los últimos 200 años y, en particular, resultados teóricos de la década previa, inaccesibles por su complejidad incluso a muchos matemáticos contemporáneos. Hoy sus trabajos son centrales en geometría aritmética moderna.

​La demostración no deslumbra al vulgo seglar por lo inasequible y extensa. La antítesis misma del enunciado del acertijo, que hasta un niño de 10 años puede comprender. ¿Qué reemplazará el vacío que deja ese torreón en ruinas, promesa y némesis de generaciones de matemáticos aficionados y profesionales por igual, durante tres siglos y medio? El desafío de entender la demostración de Wiles.-

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